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Abbildungen

Eines der grundlegendsten Prinzipien der 3D Programmierung ist die Verwendung von Transformationen (bzw. Abbildungen).
Folgende Transformationen spielen eine Rolle:
  • Modellierung
    Verschiebung (Translation)
    Drehung (Rotation)
    Skalierung (Scale)
    Spiegelung (Mirror)


  • Projektion
    orthogonale Projektion
    perspektivische Projektion

Matrizen

Definition

Jede dieser Abbildungen wird durch eine Matrix dargestellt. Aber keine Angst! Man muss nicht alles über Matrizen wissen. um sie anzuwenden. Wer sich genauer informieren will, der sollte am Besten bei Wikipedia nachlesen. Man sollte aber zu mindest wissen, dass eine Matrix aus 16 Zahlen besteht (4X4-Matrix). Diese Matrix kann auf einen Vektor angewandt werden. Dies geschieht mathematisch nach ganz bestimmten Regeln.

Für uns ist das aber nicht so wichtig. Wir müssen nur wissen, wie das zum Programmieren funktioniert.

Nehmen wir an, wir wollen einen Körper rotieren lassen.
Eine Rotation ist bestimmt durch eine Rotationsachse und durch einen Rotationswinkel Alfa. Der Körper besteht aus vielen Punkten P1,P2,P3,... vom Typ xyz. Zuanächst besorgen wir uns eine Matrix:
    // Rotationsachse festlegen gegeben durch den Punkt 1,2,1 
    //und die Richtung 0,0,1.
    LineType Rotationsachse = new LineType(new xyz(1,2,1), new xyz(0,0,1));
    // Matrix besorgen
    Matrix Rotation = Matrix.Rotation(Roationsachse,Alfa);
    

Nun rotieren wir die Punkte
    
    P1 = Rotation*P1;
    P2 = Rotation*P2;
    P3 = Rotation*P3;
    //usw.
    

Ist doch gar nicht so schwer :)

Wie kommt man zu den Matrizen?



  • Modellierungsmatrizen
    Translation : Matrix Trans = Matrix.Translation(xKoordinate,yKoordinate,zKoordinate).
    Rotation: Matrix Rot = Matrix.Rotation(Drehgerade,Drehwinkel).
    Skalierung: Matrix Skal = Matrix.Scale(xFaktor, yFaktor, zFaktor) .
    Spiegelung: Matirx Spigel = Matrix.Mirror(Ebenes).

  • Projektionsmatrizen
    Orthogonale Projektion
    : Matrix NormalProjection = Matrix.Orthogonal(Left, Right,Bottom, Top, Near, Far).
    Perspektivische Projektion: Matrix Perspektive = Matrix.Frustum(Left, Right,Bottom, Top, Near, Far).

    Für die Bedeutung der Parameter stelle dir sich am Besten vor: Du steht vor dem Fenster und schaut hinaus in die weite Welt. "Left" ist der Abstand zum linken Rand des Fensters und "Right" zum rechten Rand; ebenso stellst du dir "Bottom" und "Top" vor.
    "Near" ist der Abstand zum Fenster und "Far" ist eine Distanz, ab welcher du nichts mehr siehst (oder sehen magst). Die Graphikengine clippt alles außerhalb des Bereiches "Left", "Right"; "Bottom", "Top"; "Near, "Far".

 


Abbildungen verknüpfen



Oft sind Abbildungen nicht reine Drehungen oder Translationen sondern "Überlagerungen". Man kann zuerst etwas Verschieben und dann Drehen.
Beide Abbildungen zusammen ergeben eine neue Abbildung. Sagen wir zu ihr "DrehTrans".
Ist D die Matrix der Drehung und T die Matrix der Verschiebung, so bekommt man die Matrix von "Drehtrans" durch eine
sog. Matrixmultiplikation D*T.
Dieser Multiplikation liegt ein ganz bestimmtes Schema zu Grunde. Ich möchte dich aber nicht quälen mit einer langen Abhandlung darüber.
Wichtig ist, dass es ein Unterschied ist, ob zuerst verschoben und dann gedreht wird oder umgekehrt.

Beispiel: Verschieben wir einen Körper in Nullpunktslage um einen Vektor (1,0,0) und drehen ihn dann um den Nullpunkt mit 45°.
Das Ergebnis: Der Köper befindet sich an der Stelle (1,0,0) und ist dort um 45° gedreht.
Umgekehrt: Drehen wir den Köprer um 45° und verschieben ihn dann um (1,0,0).
Das Ergebnis: Der Körper ist gedreht, liegt aber auf der Geraden, die mit der x-Achse 45° einschließt ( der Mediane )!
Die Matrizenmultiplikation ist also nicht vertauschbar.

Die Modellmatrix und die Projektionsmatrix einer Grafikengine

Eine Grafikkarte hat zwei Transformationen eingebaut:
  • Modellmatrix
  • Projektionsmatrix
Gibt man einen Punkt Pt an die Grafikkarte, so wird zuerst die Modellmatrix M angewandt und anschließend die Projektionsmatrix P:
Pt --> M*Pt --> PT*M*Pt
Liegt das Ergebnis innerhalb des Wüfels [-1,1]X[-1,1]X[-1,1] so hat der Punkt Glück und wird gezeichnet.

Beispiel

Es wird Zeit, dass wir wieder einmal mit einem Programm anschauen, wie das alles funktioniert.
Erstellen wir ein Drawing 3d Projekt wie es in Hello World beschrieben ist und nennen es "Transformations 3D".

Wir zeichnen eine Szene bestehend aus vier Würfeln:
     void Device_OnPaint(object sender, EventArgs e)
        {
            Tools.drawBoxAt(Device, new xyz(-2, -2, 0), new xyz(2, 2, 2));
            Tools.drawBoxAt(Device, new xyz(-2, 2, 0), new xyz(2, 2, 2));
            Tools.drawBoxAt(Device, new xyz(2, 2, 0), new xyz(2, 2, 2));
            Tools.drawBoxAt(Device, new xyz(2, -2, 0), new xyz(2, 2, 2));

        }
    

Und so sieht es aus



Wir drehen nun die Szene um 45° um den Nullpunkt und setzen dazu in der Paintmethode die Modelmatrix auf die Rotationsmatrix Rot:
            void Device_OnPaint(object sender, EventArgs e)
        {
            Matrix Rot = Matrix.Rotation(new LineType(new xyz(0, 0, 0), new xyz(0, 0, 1)), System.Math.PI / 8);
            Device.ModelMatrix = Rot;
            Tools.drawBoxAt(Device, new xyz(-2, -2, 0), new xyz(2, 2, 2));
            Tools.drawBoxAt(Device, new xyz(-2, 2, 0), new xyz(2, 2, 2));
            Tools.drawBoxAt(Device, new xyz(2, 2, 0), new xyz(2, 2, 2));
            Tools.drawBoxAt(Device, new xyz(2, -2, 0), new xyz(2, 2, 2));

        }
    
    


Und sehen die gedrehte Szene

PushMatrix PopMatrix und MulMatrix

Im vorigen Beispiel haben wir einfach
       ...
       Device.ModelMatrix = Rot;
       ...
       
gesetzt. Dabei geht der Inhalt der ModelMatrix verloren. Um dies zu vermeiden gibt es eine elegante Lösung, die auch von der Grafikkarte unterstützt wird. Mit PushMatrix kann eine Matrix auf einen Spael gelegt werden mit PopMatrix wieder aktiviert werden.
       ...
        Device.PushMatrix();
        Device.ModelMatrix = Rot;
        Device.PopMatrix();
       ...
       
Ein weiterer Schönheitsfehler: Bei der Darstellung einer Szene sind die Transformationen meistens relativ zur augenblicklichen Transformation. Um eine relative Transformation auszuüben, verwendet man MulMatrix. Auch diese Operation ist sehr schnell, da sie von der Grafikkarte unterstützt wird.
Also
       ...
        Device.PushMatrix();
        Device.ModelMatrix = Rot;
        Device.PopMatrix();
       ...
       


Ein Beispiel
       ...
       Matrix Verschieben = Matrix.Translation(3,0,0);
       Device.PushMatrix();
       Device.DrawBox(new xyz(2,2,2);
       
       Device.Mulmatrix(Verschieben);
       Device.DrawBox(new xyz(2,2,2);
       
       Device.Mulmatrix(Verschieben);
       Device.DrawBox(new xyz(2,2,2);
       
       Device.Mulmatrix(Verschieben);
       Device.DrawBox(new xyz(2,2,2);
       
       Device.PopMatrix();
       ...
       

Es werden vier Würfel im Abstand 3 gezeichnet und am Schluss wird der ursprüngliche Inhalt der Modelmatrix wieder hergestellt.

 
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